2直線偏波による円偏波放射条件
Circularly Polarized Wave As a Sum of Two Linearly Polarized Waves

2003/1/6 Takuichi Hirano

問題

2つの角度θで交わる直線偏波の合成波(\(TraditionalForm\`x\&^' A + y\&^' B\))が円偏波となる条件を示せ。
ただし、電磁波の進行方向を+z方向とする。

[解答]

x2 = {1, 0};      
y2 = {Cos[θ], Sin[θ]};      
A = 
        RA*Exp[I*θA];
B = 
        RB*Exp[I*θB];
A*x2 + B*y2  //  
      ComplexExpand

<< Algebra`ReIm`;
  
θ /: 
        Im[θ] = 0;
RA /: Im[RA] = 
        0;
RB /: Im[RB] = 
        0;
θA /: Im[θA] = 
        0;
θB /: Im[θB] = 
        0;
E2 = 
        A*x2 + B*y2;
Ex = 
        E2[[1]];
Ey = 
        E2[[2]];

位相条件（右旋円偏波: (Subscript[E, y]) = -j (Subscript[E, x])）

Ey + I*Ex == 0  // Expand  //  ComplexExpand

これは振幅条件(|Ex|=|Ey|)も兼ねる。

[右旋円偏波になることの説明]
(Subscript[E, x]) = j (Subscript[E, y])
(Subscript[E, y]) = -j (Subscript[E, x])

\(TraditionalForm\`E\_x = 
        A\_x\ \(exp(
            j\ φ\_x)\), \ \ \ \ \((A\_x, \ φ\_x\  ∈ \ ℝ)\)\) とすると、
(Subscript[E, t]) = -j (Subscript[E, x]) = -j (Subscript[A, x]) exp(
                j (Subscript[φ, x])) = exp(-j π/
                      2) (Subscript[A, x]) exp(j (Subscript[φ, x])) = 
              (Subscript[A, x]) exp(j ((Subscript[φ, x]) - π/2))

よって、瞬時値表現に直すと
(Subscript[e, x]) = Re[(Subscript[E, x]) exp(j ω t)] = 
          (Subscript[A, x]) cos(ω t + (Subscript[φ, x]))
(Subscript[e, y]) = Re[(Subscript[E, y]) exp(j ω t)] = 
          (Subscript[A, x]) cos(ω t + (Subscript[φ, x]) - π/2)
\(TraditionalForm\`			\(\(=\)\(A\_x\ \(cos(ω\ t + φ\_x - π/2)\)\)\)\)
\(TraditionalForm\`			\(\(=\)\(A\_x\ \(sin(ω\ t + φ\_x)\)\)\)\)
まとめると、
(Subscript[e, x]) = 
        (Subscript[A, x]) cos(ω t + (Subscript[φ, x]))
(Subscript[e, y]) = 
        (Subscript[A, x]) sin(ω t + (Subscript[φ, x]))
となり、+z側から見て電界はx - y平面を正の方向（左回り）に回る。
つまり、(-z側から)進行方向+z側を見ると電界は右回りに回っているので、条件(Subscript[E, x]) = j (Subscript[E, y])は右旋円偏波を表している。

また、振幅条件は明らかに
(Subscript[E, x]) = j (Subscript[E, y])
の両辺の絶対値を取ると
\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(E\_x\)\(|\)\) = \(\(\(|\)\(j\ E\_y\)\(|\)\) = \(\(|\)\(E\_y\)\(|\)\)\)\)
となり、楕円ではなく、完全な円偏波である。

まとめると、直交軸で考えたとき、２成分の電界の振幅が等しい場合には位相が進んでいる方から遅れている方に向かって回転する。

連立三角方程式を解く

Solve[{RB Cos[θB] Sin[θ] - RA Sin[θA] - 
                RB Cos[θ] Sin[θB] == 
              0, 
RA Cos[θA] + 
                RB Cos[θ] Cos[θB] + 
                RB Sin[θ] Sin[θB] == 
              0}, {RB, θB}]  //  Simplify  //  
      TrigReduce

(Subscript[R, B])が負の解は位相を180  °変えるだけ[arccos(-x) = -(arccos(x) + π + 
              2 n π)]なので、(Subscript[R, B])が正の解を採用する。よって、
RB = 
        RA,  θB = (θ + θA + π + 
            2 n π) という条件ならば右旋円偏波になる。■

少し簡単にするため、RA = 1,  θA = 0という条件を加える。

Solve[{RB Cos[θB] Sin[θ] - RA Sin[θA] - 
                RB Cos[θ] Sin[θB] == 
              0, 
RA Cos[θA] + 
                RB Cos[θ] Cos[θB] + 
                RB Sin[θ] Sin[θB] == 
              0}  /.  {RA -> 1, θA -> 
              0}, {RB, θB}]  //  Simplify

よって、RB = 
        1,  θB = ±(θ + π + 
              2 n π)という条件ならば右旋円偏波になる。■

確認（シミュレーション）

ta = 45  °;
tb = +(θ + ta + π);
nframe = 4;
xyreg = 0.5;
Do[
ParametricPlot[
          Evaluate[
            x2*Cos[t + ta] + 
                y2*Cos[t + tb]  /.  {θ -> 30  °}], {t, 
            0, (2*π)*(i/
                  nframe)}, 
PlotRange -> {{-xyreg, xyreg}, {-xyreg, xyreg}}, 
Frame -> 
            True, 
AspectRatio -> 
            Automatic];
, {i, 1, 
        nframe}
]

位相条件（左旋円偏波: (Subscript[E, y]) = j (Subscript[E, x])）

Ey - I*Ex == 0  // Expand  //  ComplexExpand

この条件が左旋円偏波になることの説明は右旋円偏波の節を参照。

連立三角方程式を解く

Solve[{RB Cos[θB] Sin[θ] + RA Sin[θA] + 
                RB Cos[θ] Sin[θB] == 
              0, 
-RA Cos[θA] - 
                RB Cos[θ] Cos[θB] + 
                RB Sin[θ] Sin[θB] == 
              0}, {RB, θB}]  //  Simplify  //  
      TrigReduce

(Subscript[R, B])が負の解は位相を180  °変えるだけ[arccos(-x) = -(arccos(x) + π + 
              2 n π)]なので、(Subscript[R, B])が正の解を採用する。よって、
RB = 
        RA,  θB = (-(θ - θA) + π + 
            2 n π)という条件ならば左旋円偏波になる。■

少し簡単にするため、RA = 1,  θA = 0という条件を加える。

Solve[{RB Cos[θB] Sin[θ] + RA Sin[θA] + 
                RB Cos[θ] Sin[θB] == 
              0, 
-RA Cos[θA] - 
                RB Cos[θ] Cos[θB] + 
                RB Sin[θ] Sin[θB] == 
              0}  /.  {RA -> 1, θA -> 
              0}, {RB, θB}]  //  Simplify

よって、RB = 
        1,  θB = ±(-θ + π + 
              2 n π)という条件ならば左旋円偏波になる。■

確認（シミュレーション）

ta = 45  °;
tb = +(-(θ - 
                    ta) + π);
nframe = 4;
xyreg = 0.5;
Do[
ParametricPlot[
          Evaluate[
            x2*Cos[t + ta] + 
                y2*Cos[t + tb]  /.  {θ -> 30  °}], {t, 
            0, (2*π)*(i/
                  nframe)}, 
PlotRange -> {{-xyreg, xyreg}, {-xyreg, xyreg}}, 
Frame -> 
            True, 
AspectRatio -> 
            Automatic];
, {i, 1, 
        nframe}
]

まとめ

右旋円偏波: RB = 
        RA,  θB = θ + θA + π + 2 n π
左旋円偏波: RB = 
        RA,  θB = -(θ - θA) + π + 
          2 n π

もう少しまとめると

右旋円偏波: RB = 
        RA,  θB = θ + θA + π + 2 n π
左旋円偏波: RB = 
        RA,  θB = -θ + θA + π + 
          2 n π

もう少しまとめると
RB = 
        RA,  θB = ±θ + θA + π + 
          2 n π
であり、±の複合は+が右旋円偏波、-が左旋円偏波をそれぞれ表す。