電気双極子のつくる電界

平野拓一

目次

1 ポテンシャル 1 2 電界 2 3 電気力線 2

1 ポテンシャル

図 1: 電気双極子

±q を持つ電荷が微小な距離 d を隔てて Q_{1}(0, d/2, 0), Q_{2}(0, −d/2, 0) に置かれているとする。

P (x, y, z) の位置のポテンシャル V は

r_{1} = \sqrt{x^{2} + (y − d/2)^{2} + z^{2}}
r_{2} = \sqrt{x^{2} + (y + d/2)^{2} + z^{2}}

として、

V = \frac{q}{4πε_{0}r_{1}} + \frac{−q}{4πε_{0}r_{2}} = \frac{q}{4πε_{0}} (\frac{1}{r_{1}} − \frac{1}{r_{2}} )

2 電界

E = −∇V より、

E_{x} = −\frac{qx}{4πε_{0}} (\frac{1}{r_{1}^{3}} − \frac{1}{r_{2}^{3}} )
E_{y} = −\frac{q}{4πε_{0}} (\frac{y − d/2}{r_{1}^{3}} − \frac{y + d/2}{r_{2}^{3}})
E_{z} = −\frac{qz}{4πε_{0}} (\frac{1}{r_{1}^{3}} − \frac{1}{r_{2}^{3}} )

3 電気力線

図 2: 電気力線上の点

図 2 において、同じ電気力線上の点 P では、

cos θ_{1} − cos θ_{2} = const. を満たす。 [参考文献] 西巻正郎, “電磁気学”, 培風館, 1992