Fourier Transform Formula
Fourier Transform Formula
2025/6/30 Takuichi Hirano
フーリエ変換は時間(\( t \) )領域と周波数\( \omega \)領域を変換し、時間波形の周波数特性を知りたいときに使うものである。周波数の異なる正弦波の和として時間波形を分解した際に、どの周波数成分がどのぐらい強いかということを解析する手法である。
| Formula | Meaning | Note |
|---|---|---|
| \( F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} dt\) | Fourier Transform （フーリエ変換） |
\( t \rightarrow \omega \) |
| \( f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d\omega \) | Inverse Fourier Transform （逆フーリエ変換） |
\( \omega \rightarrow t \) |
\(1/( 2 \pi ) \)をフーリエ変換、逆フーリエ変換にどのように配分するかはいくつか定義がある。例えば、上の定義の他にも、1)フーリエ変換側に\(1/( 2 \pi ) \)をかけて逆フーリエ変換側の\(1/( 2 \pi ) \)を1にする定義や、2) 両方に均等に\(1/\sqrt{2 \pi} \)をかける定義もある。あくまで、時間と周波数を変換してそれぞれの領域の特性を調べたいだけなので、定数倍はあまり気にするものではなく、どちらにどの程度かかっても良いので、明確に定義しておけばよい（しなければならない）。
\( F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)], G(\omega)=\mathcal{F}[g(t)]\)
| No. | Formula | Meaning |
|---|---|---|
| 1 | \( \mathcal{F}[a f(t) + b g(t)]=a F(\omega) + b G(\omega) \) | Linearity （線形性） |
| 2 | \( \mathcal{F}[f(t-\tau)]=e^{-j \omega \tau} F(\omega) \) | Time delay （時間遅延） |
| 3 | \( \mathcal{F}[e^{j \omega_0 t} f(t)]= F(\omega - \omega_0) \) | Frequency shift （推移律） |
| 4 | \( \mathcal{F}[f(t/s)]=|s| F(s \omega) \) | Scaling （伸縮律） |
| 5 | \( \mathcal{F}[\frac{d}{dt} f(t)]=j \omega F(\omega) \) | Differentiation （微分） |
| 6 | \( \mathcal{F}[\int^{t} f(\tau) d\tau]=\frac{F(\omega)}{j \omega} \) | Integration （積分） |
| 7 | \( \mathcal{F}[(f * g)(t)]=\mathcal{F}[\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau]=F(\omega) G(\omega) \) | Convolution （畳み込み） |
| 8 | \( \mathcal{F}[f(t) g(t)]= \frac{1}{2 \pi} F(\omega) * G(\omega) \) | Product （積） 上の公式の逆 |
Other characteristics.
| No. | Formula | Meaning |
|---|---|---|
| 1 | \( \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) \right|^{2} dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left| F(\omega) \right|^{2} d\omega \) | Parseval's identity （パーセバルの等式） |
| 2 | \( f(t) \)が実数 \( \Leftrightarrow \) \( F(\omega)=F^{*}(-\omega) \) *は複素共役。 |
Symmetric spectrum （対称スペクトル） |
| 3 | \( \mathcal{F}[e^{j \omega_0 t} f(t)]= F(\omega - \omega_0) \) | Frequency shift （推移律） |
When \( f(t) \) is a periodic function with period of \( T\), Fourier transform reduces to Fourier series.
| Formula | Meaning | Note |
|---|---|---|
| \( F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)] = 2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta
(\omega - n \omega_0) \) where, \( \omega_0 = \frac{2 \pi}{T} \) \( c_n = \frac{1}{T} \int_{T} f(t) e^{-j n \omega_0 t} dt \) |
Fourier Transform \( \rightarrow \) complex Fourier series （フーリエ変換→複素フーリエ級数） |
\( t \rightarrow \omega (c_n)\) |
| \( f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j n \omega_0 t}\) | Inverse Fourier Transform \( \rightarrow \) Time domain expression using
\( c_n \) （逆フーリエ変換→ \( c_n \)を使った時間領域表現） |
\( \omega (c_n) \rightarrow t \) |